基本函數微積分、連鎖律

基本函數大致有四類:

  1. 第一類是冪函數,像是x^n,它的微分是nx^{n-1}而積分是\frac{x^{n+1}}{n+1}
  2. 第二類是三角函數,基本的微分是\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x)\frac{d(\cos(x))}{dx}=-\sin(x)
  3. 第三類是以自然數e為基底的指數函數e^x,基本的微分是\frac{d(e^x)}{dx}=e^x
  4. 第四類是以自然數e為基底的對數函數\ln(x),基本的微分是\frac{d(\ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}

其中前三類的推導可以藉由微分的操作型定義來推導(\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}),第四類的對數函數微分,可以藉由已知第三類的微分結果來推導(令y=\ln(x),則x=e^y,我們要計算\frac{d\ln(x)}{dx}即是計算\frac{dy}{dx},將x=e^y等號兩邊對x微分\frac{d(x)}{dx}=\frac{d(e^y)}{dx}並使用連鎖律,即1=\frac{d(e^y)}{dy}\frac{dy}{dx},則\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x})

連鎖律:假設函數gx的函數,則在y=g, x=x的圖中畫出g(x)的函數圖形,此時g(x)的變化量(y的變化量)d(g(x))可表示為在該點的切線斜率(該點的切線斜率即是\frac{d(g(x))}{dx})乘上x的變化量dx,亦即d(g(x))=\frac{d(g(x))}{dx}dx。依此類推如果函數fg的函數,即f(g)=f(g(x)),則df=\frac{df(g)}{dg},如將gx函數一併考慮則d(f(g(x)))=\frac{d(f(g))}{dg}\frac{d(g(x))}{dx}dx,此連鎖律提供一依循基本函數微分的計算方式(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx})。

連鎖律配合基本函數微分的使用:譬如要計算\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx},依照基本函數的微分,我們只知道\frac{d(e^{x^2-5x})}{d(x^2-5x)}(此時將x^2-5x視為y,則\frac{d(e^y)}{dy})是基本函數的微分,但我們要計算的是\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx}即對x微分而不是對y=x^2-5x微分,因此用連鎖律得\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx}=\frac{d(e^{x^2-5x})}{d(x^2-5x)}\frac{d(x^2-5x)}{dx}=e^{x^2-5x}(2x-5),所有的計算都依此方式。

積分的計算則是逆推回去,譬如已知\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x),則\cos(x)dx=d(\sin(x)),概念為一個函數(f(x))的斜率函數(\frac{d(f(x))}{dx})乘上x的變化量(dx)等於該函數的變化量(d(f(x)))。我們在計算\int \cos(x)dx時候,我們直接找此斜率函數\cos(x)(函數的一次微分)對應的函數為\sin(x),則推論\int \cos(x)dx=\int d(\sin(x)),等號右邊告訴我們\sin(x)的微小變化量d(\sin(x))再加總(積分)計算\int d(\sin(x)),則回到原來的\sin(x)函數,即\int \cos(x)dx=\int d(\sin(x))=\sin(x)+c,常數c只是不定積分的可位移之自由度。

相同的道理我們可以逆推連鎖律來找積分計算結果,譬如\int e^{x^2-5x}(2x-5)dx,一步一步逆推如下:\int e^{x^2-5x}(2x-5)dx=\int e^{x^2-5x}d(x^2-5x)=\int d(e^{x^2-5x})=e^{x^2-5x}+c

準大學生先修物理一課程

準大學生先修物理一課程分為上午班與下午班,上午班為早上10:00-12:00,下午班為1:30-3:30,已協助將同學分班並將盡速通知大家,地點在國立交通大學(新竹市東區大學路1001號)科學三館(即基礎科學教學大樓)一樓SC162教室。

書本:如物理二課程亦使用同一本,則建議採購參考之,本年度剛好有新版第十版的新教科書,該書收集資訊相當完備,亦可當查詢物理知識的參考書。

課程所使用的網路資源有:
(1)ewant平台(http://www.ewant.org/)

ewant平台上有去年的上課投影片及去年的影音課程,後續助教會協助更新為今年的投影片與影音課程。

(2)本人網站(http://nqpl.ep.nctu.edu.tw)

網站上提供物理一課程講義、物理一影音課程(含2012、2016與最新的2018影音課程)及虛擬物理,此外亦將把部分課程內容以文字敘述在網站上發表文章。

(3)本人YouTube網站(https://www.youtube.com/c/WenBinJian)

可直接在YouTube頻道上找到課程內容,有播放清單收集每一章的課程影音,亦有其他相關課程內容可供學習。

第一章之數學工具課程影音已上線,請同學在本網站上尋找2018物理一影音課程,並提前自我學習,更新後的講義亦可以在本網站上下載,第一章的作業將勾選講義上題目之題號。第二章以後可以多參考教科書,然講義內容亦相當完整。

第一次上課日期為6月19日星期二,上午或下午班擇一上課(已經將同學分班,近期通知,如需更換亦請與助教聯絡),上課一開始會讓同學提問,接續檢測同學學習裝況,最後再延伸講解一些融會貫通解決問題的思路。

後續會利用ewant平台與同學通信,譬如可以協助統計購書人數並與交大校園書局協定折扣價、課程作業與繳交方式、期中測驗時間及各種問題與協助等。

散度計算含義與球座標

在課程中有描述散度計算\vec{\nabla}\cdot是作用向量函數\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}上(非純量函數),散度運算後是純量,即向量函數(向量場)在每一位置發散的程度,散度是每單位體積向量場的通量,譬如在(x,y,z)位置上x方向的散度可以寫成在(x+dx,y,z)面的通量F_x(x+dx,y,z)dydz與另一面(x,y,z)的通量F_x(x,y,z)dydz間的差值,求差值是因為人站立在微小體積dxdydz內,兩個面的法向量各為+\hat{i}-\hat{i},這兩個面的通量差值可以表示為(F_x(x+dx,y,z)-F_x(x,y,z))dydz=\frac{\partial (F_xdydz)}{\partial x}dx=\frac{\partial F_x}{\partial x}dxdydz,因為dydz面積不隨x變化,所以可以直接提到偏微分運算外,則在x方向上的單位體積向量場通量為\partial F_x/\partial x,另外加上yz方向的散度則\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}

如果因為待解決問題的對稱姓選擇球座標,則向量場函數作變數變換為(r,\theta,\phi)的函數,且其三個分量表示為\vec{F}(r,\theta,\phi)=F_r\hat{r}+F_\theta\hat{\theta}+F_\phi\hat{\phi},在r方向的向量場通量為

(1)   \begin{eqnarray*} (F_r(r+dr,\theta,\phi)-F_r(r,\theta,\phi))(rd\theta)(r\sin\theta d\phi)\\ =\frac{\partial(F_r(rd\theta) (r\sin\theta d\phi))}{\partial r}dr\\ =\frac{\partial(F_r r^2\sin\theta)}{\partial r}drd\theta d\phi \end{eqnarray*}

,其散度值為單位體積((dr)(rd\theta)(r\sin\theta d\phi))之向量場通量,即\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial (r^2\sin\theta F_r)}{\partial r},注意此時的向量場通量除了F_r隨著r增加而變化外,其與r方向垂直的平面面積亦隨著r增加而變化,如下圖所示。

總散度需加上\theta\phi方向分量,最後得到

(2)   \begin{equation*} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{r^2\sin\theta} (\frac{\partial(F_r r^2\sin\theta)}{\partial r} +\frac{\partial(F_\theta r\sin\theta)}{\partial\theta} +\frac{\partial(F_\phi r)}{\partial\phi}) \end{equation*}

small volume in the spherical coordinate

梯度向量含義與球座標

梯度向量是把del operator\vec{\nabla}作用在純量函數上(譬如f(x,y,z)),其意義是取得原來純量函數f(x,y,z)在位置向量變化\Delta\vec{r}下的變化量\Delta f,且純量函數f之梯度向量(即\vec{\nabla}f(x,y,z))是每個座標位置(x,y,z)上指向原純量函數f(x,y,z)變化最大的方向,大小亦代表純量函數在該方向之變化程度。

根據我們遇到的問題,我們採用不同的直角座標,包括笛卡兒座標(xyz-axes)、柱狀座標與球座標。梯度向量的運算可以利用直角座標而切換到一座標分量上去找運算式,譬如原來的笛卡兒座標,當我們只關心x分量上的梯度運算時候,可推測其函數變化量\Delta f、梯度向量之x分量及位置位移量\Delta x,應該滿足\Delta f=(\vec{\nabla}f)_x\Delta x,則函數f之梯度向量x分量運算應該是(\vec{\nabla}f)_x=\Delta f/\Delta x\simeq \partial f/\partial x,此時找到\vec{\nabla}f=\hat{i}\partial f/\partial x+...,依序找出yz方向可得\vec{\nabla}f=\hat{i}\partial f/\partial x+\hat{j}\partial f/\partial y+\hat{k}\partial f/\partial z

如果因為待解決問題是球對稱而採用球座標,球座標的三個長度分別是dr, rd\theta, r\sin\theta d\phi(其方向可參考虛擬物理動態圖),則對純量函數f(r,\theta,\phi)沿著\hat{r}方向的梯度運算概念為\Delta f=(\vec{\nabla}f)_r \Delta r,即(\vec{\nabla}f)_r=\partial f/\partial r,另兩個方向則分別為(\vec{\nabla}f)_\theta=(1/r)(\partial f/\partial\theta)(\vec{\nabla}f)_\phi=(1/r\sin\theta)(\partial f/\partial\phi)

球座標下的梯度運算:

(1)   \begin{equation*} \vec{\nabla}=\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi} \end{equation*}

梯度向量導出之曲線

Example: The temperature at a point (x,y) on a rectangular metal plate is given by T(x,y)=100-2x^2-y^2. Find the path a heat-seeking particle will take, starting at (3,4), as it moves in the direction in which the temperature increases most rapidly.

由梯度向量計算可以得到heat-seeking particle在(x,y)位置時候,找到溫度增加最快的向量為\vec{\nabla}T(x,y)=-4x\hat{i}-2y\hat{j},此梯度向量造成heat-seeking particle位置隨t參數變化,即\frac{d\vec{r}}{dt}=-4x\hat{i}-2y\hat{j},也是熱流的反方向(熱流由高溫位置往低溫位置流動),則可分別在xy分量找關係,即\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}=-4x\hat{i}-2y\hat{j}

\frac{dx}{dt}=-4xx(t=0)=3,可以解此有起始條件的一階微分方程,得到x(t)=3e^{-4t},另從\frac{dy}{dt}=-2yy(0)=4可找到y(t)=4e^{-2t},則heat-seeking particle的軌跡為\vec{r}(t)=3e^{-4t}\hat{i}+4e^{-2t}\hat{j},下面兩張圖為不同角度下去觀看溫度隨(x,y)座標位置變化、梯度向量及通過(3,4)點的heat-seeking particle路徑,沿著路徑走能到最高溫位置(0,0)

Gradient to Curve
Gradient to Curve