二維空間曲線的曲率計算

如同講義上所提到的曲線的t參數表示法為\vec{r}(t),此時的切線向量為\vec{r}'=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}(曲線長度為ds=|\frac{d\vec{r}}{dt}|dt),而單位切線向量為\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}'}{|\vec{r}'|},再將單位切線向量對t微分則可得法線向量\vec{n}(t)=\frac{d\vec{T}(t)}{dt},再歸一化後可計算出單位法線向量\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}'(t)}{|\vec{T}'(t)|}

所謂曲率是以每單位曲線的長度來看單位切線向量轉方向的程度,即定義為\kappa=\frac{|d\vec{T}|}{ds},為了計算方便,我們用t參數處理為\kappa=\frac{|d\vec{T}(t)/dt|}{ds/dt}=\frac{|d\vec{T}/dt|}{|d\vec{r}/dt|},也就是法線向量長度除以切線向量長度。

如果是二維空間的曲線,定義為y=f(x),此時的曲線隨t變化可以表示為\vec{r}(t)=t\hat{i}+f(t)\hat{j},則依序可以計算出切線向量\vec{r}'=1\hat{i}+f'\hat{j}及單位切線向量\vec{T}=\frac{\vec{r}'}{|\vec{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{1+f'^2}}(1\hat{i}+f'\hat{j}),則法線向量為\vec{n}(t)=\frac{d\vec{T}}{dt}=\frac{-f'f''\hat{i}+f''\hat{j}}{(1+f'^2)^{3/2}}

曲率為法線向量長度除以切線向量長度,法線向量長度為\frac{|f''|}{1+f'^2}而切線向量長度為\sqrt{1+f'^2},可整理出\kappa=\frac{|f''(t)|}{(1+(f'(t))^2)^{3/2}},一開始設定x=t,即亦可寫為\kappa=\frac{|f''(x)|}{(1+(f'(x))^2)^{3/2}}

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