散度計算含義與球座標

在課程中有描述散度計算\vec{\nabla}\cdot是作用向量函數\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}上(非純量函數),散度運算後是純量,即向量函數(向量場)在每一位置發散的程度,散度是每單位體積向量場的通量,譬如在(x,y,z)位置上x方向的散度可以寫成在(x+dx,y,z)面的通量F_x(x+dx,y,z)dydz與另一面(x,y,z)的通量F_x(x,y,z)dydz間的差值,求差值是因為人站立在微小體積dxdydz內,兩個面的法向量各為+\hat{i}-\hat{i},這兩個面的通量差值可以表示為(F_x(x+dx,y,z)-F_x(x,y,z))dydz=\frac{\partial (F_xdydz)}{\partial x}dx=\frac{\partial F_x}{\partial x}dxdydz,因為dydz面積不隨x變化,所以可以直接提到偏微分運算外,則在x方向上的單位體積向量場通量為\partial F_x/\partial x,另外加上yz方向的散度則\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}

如果因為待解決問題的對稱姓選擇球座標,則向量場函數作變數變換為(r,\theta,\phi)的函數,且其三個分量表示為\vec{F}(r,\theta,\phi)=F_r\hat{r}+F_\theta\hat{\theta}+F_\phi\hat{\phi},在r方向的向量場通量為

(1)   \begin{eqnarray*} (F_r(r+dr,\theta,\phi)-F_r(r,\theta,\phi))(rd\theta)(r\sin\theta d\phi)\\ =\frac{\partial(F_r(rd\theta) (r\sin\theta d\phi))}{\partial r}dr\\ =\frac{\partial(F_r r^2\sin\theta)}{\partial r}drd\theta d\phi \end{eqnarray*}

,其散度值為單位體積((dr)(rd\theta)(r\sin\theta d\phi))之向量場通量,即\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial (r^2\sin\theta F_r)}{\partial r},注意此時的向量場通量除了F_r隨著r增加而變化外,其與r方向垂直的平面面積亦隨著r增加而變化,如下圖所示。

總散度需加上\theta\phi方向分量,最後得到

(2)   \begin{equation*} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{r^2\sin\theta} (\frac{\partial(F_r r^2\sin\theta)}{\partial r} +\frac{\partial(F_\theta r\sin\theta)}{\partial\theta} +\frac{\partial(F_\phi r)}{\partial\phi}) \end{equation*}

small volume in the spherical coordinate

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