梯度向量含義與球座標

梯度向量是把del operator\vec{\nabla}作用在純量函數上(譬如f(x,y,z)),其意義是取得原來純量函數f(x,y,z)在位置向量變化\Delta\vec{r}下的變化量\Delta f,且純量函數f之梯度向量(即\vec{\nabla}f(x,y,z))是每個座標位置(x,y,z)上指向原純量函數f(x,y,z)變化最大的方向,大小亦代表純量函數在該方向之變化程度。

根據我們遇到的問題,我們採用不同的直角座標,包括笛卡兒座標(xyz-axes)、柱狀座標與球座標。梯度向量的運算可以利用直角座標而切換到一座標分量上去找運算式,譬如原來的笛卡兒座標,當我們只關心x分量上的梯度運算時候,可推測其函數變化量\Delta f、梯度向量之x分量及位置位移量\Delta x,應該滿足\Delta f=(\vec{\nabla}f)_x\Delta x,則函數f之梯度向量x分量運算應該是(\vec{\nabla}f)_x=\Delta f/\Delta x\simeq \partial f/\partial x,此時找到\vec{\nabla}f=\hat{i}\partial f/\partial x+...,依序找出yz方向可得\vec{\nabla}f=\hat{i}\partial f/\partial x+\hat{j}\partial f/\partial y+\hat{k}\partial f/\partial z

如果因為待解決問題是球對稱而採用球座標,球座標的三個長度分別是dr, rd\theta, r\sin\theta d\phi(其方向可參考虛擬物理動態圖),則對純量函數f(r,\theta,\phi)沿著\hat{r}方向的梯度運算概念為\Delta f=(\vec{\nabla}f)_r \Delta r,即(\vec{\nabla}f)_r=\partial f/\partial r,另兩個方向則分別為(\vec{\nabla}f)_\theta=(1/r)(\partial f/\partial\theta)(\vec{\nabla}f)_\phi=(1/r\sin\theta)(\partial f/\partial\phi)

球座標下的梯度運算:

(1)   \begin{equation*} \vec{\nabla}=\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi} \end{equation*}

9 thoughts on “梯度向量含義與球座標”

  1. 請教 , 梯度向量 中定義的函數f(x,y,z)微變量 ∂f ,必為與梯度向量同方向 的遞增量 ? 即必∂f >0 ? 謝謝

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    • 不是喔,應該是梯度向量算出來的是最大值且方向是最大值方向,而delta f是”梯度向量” 內積 “某個方向的微小位移”,所以不一定是>0喔

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  2. 個人意思是 , 例如等溫線函數 , 等濃度線函數 , 等密度線函數的f(x,y)函數 的梯度方向是定義為指向 溫度 ( 濃度 , 密度 )遞增(∂f>0) , 或 溫度 ( 濃度 , 密度 )遞減(∂f<0) 方向 ?
    謝謝 .

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  3. 圓錐函數z = f(x,y) = – x² – y² => ▽f = , 圓錐圖形頂點 fx = 0= fy
    =>梯度向量 = ? 或以梯度向量必垂直曲面觀點 => ▽f= 向量 ?

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    • 在原點剛好是往四面八方射出去的中心點,所以是0向量,稍微離開原點就有-2x i -2y j向量了。你如果是兩個變數是等溫線在二度空間,如果是三個變數才會是三度空間友等溫面。梯度向量對純亮函數運算後確實是向量。

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  4. 圓錐函數z = f(x,y) = – x² – y² => ▽f = , 圓錐圖形頂點 fx = 0= fy
    =>梯度向量 =0âx + 0ây ? 或以梯度向量必垂直曲面觀點 => ▽f= 0âx + 0ây + zâz向量 ?

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    • 這是二度空間的等溫線,圓錐的三度空間圖是故意把含數值當作第三度空間的高度畫出來的立體圖。梯度向量是-2x i + -2y j是二度空間向量,他是垂直於二度空間的等含數值曲線x^2 + y^2 = const。

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  5. 圓錐函數z = f(x,y) = – x² – y² => ▽f =fxâx + fyây , 圓錐圖形頂點 fx = 0= fy
    =>梯度向量 =0âx + 0ây ? 或以梯度向量必垂直曲面觀點 => ▽f= 0âx + 0ây + zâz向量 ?

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