基本函數微積分、連鎖律

基本函數大致有四類:

  1. 第一類是冪函數,像是x^n,它的微分是nx^{n-1}而積分是\frac{x^{n+1}}{n+1}
  2. 第二類是三角函數,基本的微分是\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x)\frac{d(\cos(x))}{dx}=-\sin(x)
  3. 第三類是以自然數e為基底的指數函數e^x,基本的微分是\frac{d(e^x)}{dx}=e^x
  4. 第四類是以自然數e為基底的對數函數\ln(x),基本的微分是\frac{d(\ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}

其中前三類的推導可以藉由微分的操作型定義來推導(\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}),第四類的對數函數微分,可以藉由已知第三類的微分結果來推導(令y=\ln(x),則x=e^y,我們要計算\frac{d\ln(x)}{dx}即是計算\frac{dy}{dx},將x=e^y等號兩邊對x微分\frac{d(x)}{dx}=\frac{d(e^y)}{dx}並使用連鎖律,即1=\frac{d(e^y)}{dy}\frac{dy}{dx},則\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x})

連鎖律:假設函數gx的函數,則在y=g, x=x的圖中畫出g(x)的函數圖形,此時g(x)的變化量(y的變化量)d(g(x))可表示為在該點的切線斜率(該點的切線斜率即是\frac{d(g(x))}{dx})乘上x的變化量dx,亦即d(g(x))=\frac{d(g(x))}{dx}dx。依此類推如果函數fg的函數,即f(g)=f(g(x)),則df=\frac{df(g)}{dg},如將gx函數一併考慮則d(f(g(x)))=\frac{d(f(g))}{dg}\frac{d(g(x))}{dx}dx,此連鎖律提供一依循基本函數微分的計算方式(\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx})。

連鎖律配合基本函數微分的使用:譬如要計算\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx},依照基本函數的微分,我們只知道\frac{d(e^{x^2-5x})}{d(x^2-5x)}(此時將x^2-5x視為y,則\frac{d(e^y)}{dy})是基本函數的微分,但我們要計算的是\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx}即對x微分而不是對y=x^2-5x微分,因此用連鎖律得\frac{d(e^{x^2-5x})}{dx}=\frac{d(e^{x^2-5x})}{d(x^2-5x)}\frac{d(x^2-5x)}{dx}=e^{x^2-5x}(2x-5),所有的計算都依此方式。

積分的計算則是逆推回去,譬如已知\frac{d(\sin(x))}{dx}=\cos(x),則\cos(x)dx=d(\sin(x)),概念為一個函數(f(x))的斜率函數(\frac{d(f(x))}{dx})乘上x的變化量(dx)等於該函數的變化量(d(f(x)))。我們在計算\int \cos(x)dx時候,我們直接找此斜率函數\cos(x)(函數的一次微分)對應的函數為\sin(x),則推論\int \cos(x)dx=\int d(\sin(x)),等號右邊告訴我們\sin(x)的微小變化量d(\sin(x))再加總(積分)計算\int d(\sin(x)),則回到原來的\sin(x)函數,即\int \cos(x)dx=\int d(\sin(x))=\sin(x)+c,常數c只是不定積分的可位移之自由度。

相同的道理我們可以逆推連鎖律來找積分計算結果,譬如\int e^{x^2-5x}(2x-5)dx,一步一步逆推如下:\int e^{x^2-5x}(2x-5)dx=\int e^{x^2-5x}d(x^2-5x)=\int d(e^{x^2-5x})=e^{x^2-5x}+c

4 thoughts on “基本函數微積分、連鎖律”

  1. 幫小女找數學講義時搜尋到這裡,冒昧請問簡教授是學號79台大童軍團的學長嗎?
    是的話我是你以前組員小骨頭張啟容啦~

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