繩波位能問題

有同學問為何計算繩子上波動的位能時,用張力T乘以繩子被拉伸增加的長度\Delta L-\Delta x

這個模型應該是假設繩子由一段一段小繩子接起來,每一段小繩子之間用彈簧來連接。

一般彈簧從未受力,到受力總伸長量為x長度,一共累積位能\int_0^x (kx)dx=\frac{1}{2}kx^2。繩波上的彈簧是已經申長x,也就是已經有張力T=kx,此時再伸長一微小變化量\delta L則張力T=k(x+\delta L)變化不大,因此波動行進時候張力作功為T\delta L

從下圖中可觀察波動產生後,繩子被拉伸的長度為\delta L=\Delta L-\Delta x=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}-\Delta x,先提出\Delta x則可以改寫\delta L=\Delta x(\sqrt{1+(\partial y/\partial x)^2}-1),再利用泰勒展開\sqrt{1+(\partial y/\partial x)^2}\simeq 1+\frac{1}{2}(\frac{\partial y}{\partial x})^2,則張力作功可以表示為T\delta L=\frac{T}{2}(\frac{\partial y}{\partial x})^2\Delta x,此時y為波函數y(x,t),即離開平衡位置的高度。

a string wave

Leave a Comment

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.