Ch3-1


此動態圖形展示一維運動,使用者可以調整位置、速度與加速度,觀察等速度運動、加速度運動與減速度運動。

Ch4-1


在二維運動中我們介紹等速率圓周運動時候,使用了極座標,極座標是二維系統中另一個直角座標,它的兩個單位向量\hat{r}\hat{\theta}隨著位置而改變方向,但卻是保持互相垂直的,且它的微小體積是(dr)(rd\theta),即沿著\vec{r}方向的長度是dr,而沿著\hat{\theta}方向的”長度”是rd\theta,注意在這裡我們要的是長度而不是角度d\theta

動態圖為位置座標上的\vec{r}\hat{\theta},扇形面積表示(dr)(rd\theta)。可用滑鼠點擊繪圖區改變位置向量,觀察向量方向變化。

三維空間的柱狀座標是以極座標取代三維空間xyz直角坐標中的xy平面,即以極座標加上z軸來表示,因此後續章節常會使用到極座標。利用極座標這樣的直角座標,我們可以很容易計算出圓形對稱的物理問題,舉一個最簡單的問題為例,利用極座標能輕易計算出圓形面積,以下為計算圓面積的方程式:

(1)   \begin{equation*} \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}(rd\theta)(dr)=\int_{0}^{R}2\pi rdr=\left[\pi r^2\right]_{r=0}^{r=R}=\pi R^2 \end{equation*}

Ch4-2


二維運動最常講的例子就是拋體運動,生活中的拋體運動是在三維空間中的二維運動,其行為可由以下簡單的3D圖模擬觀察。可以移動滑動器變更初始速度大小及拋出之水平仰角角度,點擊啟動按鈕(start),開始觀察不同速度與角度下的運動(隨時間變化)與運動之軌跡(zx變化之函數圖形)。

如果用xz平面來繪製拋體運動,可以觀察到其x方向運動隨時間變化是等速度形式,z方向運動是等加速度形式。假設初始(拋出瞬間)的速度大小為v_0且拋出之水平仰角角度為\theta,則x方向位置隨時間變化可表示為x(t)=v_0\cos(\theta)tz方向的加速度運動受重力加速度-g的影響表示為z(t)=v_0\sin(\theta)t-gt^2/2。上圖中的拋物線軌跡是去除掉x(t)z(t)函數中的時間變數後,找到的z(x)關係圖,也就是把t表示為\frac{x}{v_0\cos(\theta)}然後代入z(t)函數中,把t變數取代為x變數所得到軌跡關係式:

(2)   \begin{equation*} z(x)=v_0\sin(\theta)\frac{x}{v_0\cos(\theta)}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_0\cos(\theta)}\right)^2 \end{equation*}

Ch4-3


真實的物體拋物運動應該同時包含移動與轉動兩個部分,物體的質心保持在拋物線運動,而物體則繞著質心轉動。轉動在第十章會詳細描述,從上圖可以觀察到移動與轉動是不同維度,也就是真實世界裡除了三個移動的維度外,還有額外獨立的三個轉動維度。

Ch4-4


在習題中有一個有趣的題目,其假設一個小球靜止在一個半球(半徑為R=160)石頭上,此時小球以一水平速度作拋體運動射出。問要使小球在拋體運動中完全不碰觸半球石頭,則初始速度至少要多快?在解題時候我們用解析解找到初始速度大於\sqrt{gR},在這裡我們只能用數值解來探索小球滾下大球的運動,解析解無法給我們真正的運動行為。此動態圖形會記下小球碰觸大圓半球的碰撞位置,碰撞設定為彈性碰撞,但數值解有其解析度限制,因此與實際物理世界的結果仍然會有些許差異。在模擬過程中,使用者可以變更初始速度,觀察運動中是否有小球影子出現,如在運動軌跡上留下球影則表示小球與大球間有碰撞,在初始速度大於40時候,則完全看不到運動軌跡上有殘留球影,代表小球與大圓半球之間沒有碰撞,此最小速度可以用解析解求得為\sqrt{gR}

數值解方法為:v_x=const, v_z=v_z+g\times\delta t, x=x+v_x\times\delta t, z=z+v_z\times\delta t。數值方法可參考第六章內容,在最後一節中有簡介Euler數值解方法。