Ch8-1


此章節內容提及能量量子化,並舉出高中曾學習過的量子化氫原子光譜,即所觀察到的光並非連續性能量(頻率)都存在,僅僅在美些特殊頻率(能量)下才觀察到光。此氫原子電子的能量量子化一般從角動量量子化(l=n\hbar)開始推導,但為何角動量會量子化?此一動態圖將告訴我們電子的波動行為與其施行軌道運動所需滿足的波動關係。

動態圖(a)只是一般在空間行進的波,其波可用函數A\sin\left(kx-\omega t\right)=A\sin\left(2\pi(x/\lambda-t/T)\right)來表示,其中k=2\pi/\lambda為波向量而\lambda為空間中的週期即波長,另\omega=2\pi/T為角速度而T為時間領域的週期。這裡顯示出一個重要訊息是,在時間不變的條件下,波在空間上行進的關係式可以為

(1)   \begin{equation*} \int kdx = 2\pi r, \end{equation*}

此時的r可以是任意實數,當它為整數時候,我們知道波在空間上行進一個完整的週期性。我們把電子放到氫原子核週圍,因為吸引力而形成軌道運動,此時電子亦顯現其波動性質,如果軌道運行沒有任何限制,則如圖(b)顯示,電子的波是無法重疊,前一圈與後一圈會有相位差而形成相消性干涉,最後會崩跌到原子核,這樣是不允許的,因此電子選擇了繞一圈可以是波長的整數倍,即

(2)   \begin{equation*} \oint kdx=n(2\pi), \end{equation*}

此時n為正整數,如圖(c), (d), (e)分別顯示出n=1, 2, 3的波動圖形,此關係式藉由波動性轉粒子性的關係式(E=hfp=h/\lambda,其中E是能量、h是Plank常數、f是波動頻率、p是動量),可以得到

(3)   \begin{equation*} \oint pdx=nh, \end{equation*}

考慮空間中行進一圈其積分可簡單表示為p(2\pi r)=nh,改寫成l=rp=n(h/2\pi)=n\hbar即為角動量量子化。
電子在金屬內傳輸,外加高磁場條件下也是因為波動行為而形成量子態(Landau orbital),而量子霍爾效應是邊界上繞圈圈的電子波動行為。