Ch10-1


本章使用了三維空間中另外兩個直角座標體系,即球座標與柱狀座標,柱狀座標為極座標的延伸,球座標則為新使用的直角座標。球座標的三個變數為r, \theta, \phir為位置向量的長度,\theta為位置向量與z軸夾角,\phi為位置向量投影到xy平面上,與x軸的夾角。下圖標示出不同位置點的三個互相垂直的單位向量(即\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\phi}),其中\hat{r}為指向半徑延伸的方向,\hat{\theta}指向\theta角增加的切線方向(沿著經線往下方向),而\hat{\phi}指向phi角增加的切線方向(平行於xy平面,沿緯線的方向),注意此三個向量相互垂直而形成一直角坐標。

球座標好處在於解球對稱問題,球座標的三個長度為dr, rd\theta, r\sin(\theta)d\phi,其微小體積為r^2\sin(\theta)d\phi d\theta dr。利用球座標解決球對稱問題,譬如計算球體的體積,其計算方式如下:

(1)   \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}r^2\sin(\theta)d\phi d\theta dr =\int_0^R\int_0^{\pi}2\pi sin(\theta)r^2d\theta dr\\ =2\pi\int_0^R\left[-cos(\theta)\right]_{\theta=0}^{\theta=\pi}r^2dr =4\pi\int_0^Rr^2dr=\frac{4\pi}{3}R^3 \end{aligned} \end{equation*}

Ch10-2


移動中的物體可以藉由摩擦力來把移動的力量轉換成轉動,此時假設物體沒有滑動,也沒有摩擦力作功,則摩擦力的方向是造成物體轉動的方向。

英文原文書或是一般教科書對於轉動並無特別強調與描述,實際上轉動是移動以外的運動行為,像是移動有三個維度一樣,轉動有另外三個維度。物體轉動後會有慣性維持轉動的狀態,這就是為什麼腳踏車在靜止時後容易傾斜倒下,當輪胎轉動起來會呈現轉軸在水平線上,使得腳踏車不易傾倒。陀螺在轉動的時候,重力力矩僅能產生進動(precession),而不是讓陀螺傾倒,在自轉轉速緩慢時候,重力力矩就讓陀螺傾倒。還有一個日常生活經驗,用手指頂書是靜力平衡,較不容易穩定,當書在指尖上轉動起來後,由於轉動的慣性,轉軸固定方向,此時轉動中書本較易穩定站在指尖上。

摩擦力的作用也是一個議題,在上面的動態圖中,物體本身有重力造成的移動,此時如有靜摩擦力,可以產生轉動,靜摩擦力方向與移動之運動方向相反。如果是利用引擎驅動輪胎轉動,再把輪胎置放在地面上驅使車輛移動,此時輪胎之靜摩擦力方向與車輛運動的方向相同。譬如車輛是前輪驅動,則前輪輪胎與地面間的靜摩擦力與車輛運動方向相同,而後輪是受車身移動帶動後,輪胎與地面接觸才轉動,因此後輪是由靜摩擦力帶動所產生的轉動,後輪與地面接觸間靜摩擦力的方向與車輛運動的方向相反。

此模擬在完成時候會提供一參考時間顯示在動態圖上方的文字欄位,因轉動需要力矩也消耗掉力,其純滑動所耗費的時間會比轉動加移動所耗費的時間要短,純滑動的質心加速度比轉動加移動的質心加速度高。