Ch15-1


我們在此動態圖形展示阻尼運動,包括次阻尼、臨界阻尼與過阻尼震盪,因動畫軟體使用數值解,其臨界阻尼的值與解析解臨界阻尼的值不同。在動態模擬圖動作完成後會在文字欄位上顯示所耗費的時間,使用者可以調整阻尼大小(b/m的值)來改變運動狀態,當運動有來回震盪時為次阻尼震盪,此時耗費時間長,在阻尼漸漸增加到1.8時候,震盪所耗費時間最短,阻尼持續增加後震盪耗費時間又持續增長,在此數值解結果顯示臨界阻尼的值約在1.8,與解析解的2.0不同,如把模擬之時間切割更細,則能夠接近解析解的阻尼值。

球體質量為m、彈簧彈性係數為k且阻尼大小為b時,物體受彈簧與阻尼外力合為F=-kx-bv,受此外力造成球體運動之力等式為F=-kx-bv=ma,則微分方程式為

(1)   \begin{equation*} m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0. \end{equation*}

除以質量後得到

(2)   \begin{equation*} \frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{x}x=0, \end{equation*}

因此模擬設定k/m=1,故得到臨界阻尼為(b/m)^2-4k/m=0(b/m)^2-4=0,如此可以解析解得b/m=2

Ch15-2



可參考影片:https://www.youtube.com/watch?v=yVkdfJ9PkRQ

物體繫在彈簧上一維運動的力等式為:

(3)   \begin{equation*} F=ma=-kx \end{equation*}

,其中m為物體質量,a為物體運動的加速度,k為施力於物體的彈簧之彈性係數,x為物體拉伸或壓縮彈簧離開原平衡位置之距離。此一力等式,根據物體之位置與加速度間的關係a=\frac{d^2x}{dt^2},可改寫成二階微分方程式:

(4)   \begin{equation*} m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \end{equation*}

,解此一微分方程式,可以得到物體來回運動的週期(T=2\pi /\omega)、頻率(f=\omega/2 \pi)與角速度(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}})及物體來回運動的位置,其隨時間變化的位置既滿足此微分方程的函數為:

(5)   \begin{equation*} x(t)=x_0 \sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\phi) \end{equation*}

單擺在擺動時,其隨時間變化的角度可以用正弦\sin()(餘弦\cos)函數來描述,主要是它運動時候力等式與物體繫在彈簧上的力等式相同。其力等式可以表示為:

(6)   \begin{equation*} F=ma=-mg\sin(\theta) \end{equation*}

m為單擺之擺錘質量,g為重力加速度,\theta為單擺與鉛錘線之夾角。此時擺錘行徑為弧線並非直線,弧線的位置可表示為s=l\thetal為單擺擺長,則加速度與弧線上位置的關係表示成a=\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d^2(l\theta)}{dt^2}=\frac{ld^2\theta}{dt^2},可改寫力等式為微分方程式:

(7)   \begin{equation*} ml\frac{d^2\theta}{dt^2}+mg\sin(\theta)=0 \end{equation*}

,在小角度近似下(\sin(\theta)\simeq\theta),得到一微分方程式為:

(8)   \begin{equation*} l\frac{d^2\theta}{dt^2}+g\theta=0 \end{equation*}

,與前述第(2)式比對,可以比對出角度隨時變之函數為:

(9)   \begin{equation*} \theta(t)=\theta_0 \sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi) \end{equation*}

,其擺動之頻率f=\omega/2\pi=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}只與擺長l有關,因此可以用擺長來控制擺動的快慢。這結果與我們日常經驗一致,國小校園內盪鞦韆來回擺盪時間短,在戶外爬山偶遇之高樹上架設的長擺長盪鞦韆,其來回擺盪時間長。

Ch15-3


Pendulum Wave是利用擺長來調整單擺週期,而單擺與單擺之間需要遵守一定的規則才能在擺動一定次數後重新再以相同位置擺動一次,觀念上就像是多位選手用不同速度在跑操場,然而每位選手速度之間要遵守某規則才能在一定圈數後大家又在起點相遇。下面的動態展示圖,你可以輸入九個長度(介於10-200公分)來製作自己的蛇擺。