Ch16-1


所謂的波動真的就是擾動,在此簡易的模擬圖,我們固定每一個球的水平位置,而鉛直方向則使用本章所描述的繩波波等式推導的模型,讓前一顆(i-1)球與後一顆(i+1)球的位置造成彈簧拉力,使得第i顆球在鉛直方向有加速度,然後用數值方法處理每一顆球隨時間運動的情形。在一開始的擾動則是控制第一顆球的位置隨時間變化,我們給定一個週期的sin函數波形,在一個週期後停止擾動,此時波會順著繩子開始表現波動行為,有趣的是繩子的右端點設定為自由端點,而左端點設定為固定不動的端點,花點時間你還可以觀察到自由端的反射波與固定端的反射波不同。

在此模擬中的擾動給定是簡諧運動的函數A\sin(2\pi(t/T)),在擾動後自然產生一個傳遞擾動的波動,因時間給定的是+2\pi(t/T)會得到往負x方向行進的波,把t變數更改為x/v+t代入,即可得到擾動傳遞的函數為

(1)   \begin{equation*} A\sin(2\pi(\frac{x}{vT}+\frac{t}{T}))=A\sin(2\pi(\frac{x}{\lambda}+\frac{t}{T})) \end{equation*}

Ch16-2


在本章中開始強調的波從波速快介質碰撞波速慢介質,其反射波會有負號,即-A\sin(kx-\omega t),將負號吸收回\sin函數的角度中,即A\sin(kx-\omega t+\pi),可得到其與原波函數A\sin(kx-\omega t)之間有相位差,相位差為\pi

此動態模擬中完全不需要考慮碰撞或其它物理量,僅僅是此兩介質中小球體的加速度不同,在介面上自然產生入射波與反射波,在模擬中亦可觀察兩介質上波動的速度有明顯不同。

Ch18-1


模擬節拍(beats),利用兩個不同頻率的聲波疊加製作節拍,其節拍恰為頻率差。此動態模擬除了撥放聲音外,也繪製聲音隨時間震盪圖形。

動態模擬第一個滑動器改變基頻f_0,第二個滑動器決定兩個疊加波的頻率差\Delta f,其疊加的數學型式為:

(2)   \begin{equation*} A\sin(2\pi f_0)+A\sin(2\pi(f_0+\Delta f))=2A\sin(2\pi(f_0+\Delta f/2)\cos(2\pi(\Delta f/2))), \end{equation*}

原本從節拍的函數\cos(2\pi(\Delta f/2))得到的節拍頻率應該是\Delta f/2,但因此\cos()函數決定波形的封包,而封包的正的振幅與副的振幅其實給出高度相同的波形,無法分辨,因此得到的節拍頻率是\Delta f